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第一部分（纯理论）：( N- `1 @3 x- } C) l, j) _
以下理论的建立参考《气体动力学基础》2 Y, ?8 M* _0 o! _; h1 k
首先，我们作一些必要的假设：
: T4 I3 Q z- v' l" |7 |) e1）封闭的压缩空气视为连续性介质流体，并且不考虑气体的紊流。/ H" r7 t G. T8 X" o& y7 a
2）假设弹簧的工作范围始终在其弹性系数内，即输出的弹力始终相等。
9 I! r2 y- s2 c; U) \3）活塞o圈与气缸之间的摩擦阻力不计，(选取合适o圈和充分润滑的情况下很小，可忽略）, S& a. c5 W$ a
4）拍头空气的动能损失不计，即认为气体从气缸末端平滑无损失得运动到推弹嘴，动能不损失。（事实上因为气缸多为圆柱型，从气缸到推弹嘴体积为突然变化，能量会损失）
' v) p3 g, s/ F, I6 a( C, |5）从活塞到bb之间的空气损失不计，即认为枪内空气为封闭的流体，bb周围得气垫不计。（事实上这个气垫对bb的加速没有贡献，只是起到悬浮的作用）$ W/ J* M) x1 J2 S1 M" u
6）内弹道hop对bb的阻力不计，事实上确实很小。（hop太大引起堵弹的情况另计）
# E5 v* J+ s' {% K7 Z. N7）bb在内管中的弹前空气不形成冲击波，空气阻力于bb外弹道的空气阻力相同，即空气阻力于bb速度的平方成正比。（参考《枪炮内弹道学》，当弹丸速度接近声速或大于声速时，即马赫数大于或等于1时，音障的效应明显，弹前空气形成冲击波的影响不能忽略，其阻力不是简单的速度平方正比关系。我们的bb初速一般都在80－150m/s以内，马赫数不到0.2-0.5,故可以忽略内管弹前空气冲击波）
& k: B/ W* K$ G3 P# v9 Z8）由于激发时间比较短，我们认为压缩空气温度升高产生的热能来不及与外界交换，空气的变化是一个绝热等熵变化过程。
+ S% ]3 \, @6 e: X9）bb在内管加速时与内管壁得碰撞不计，即认为完全没有碰撞。（事实上bb的合外力不可能与内管完全一致，所以与内管碰撞是必然的。但是碰撞过程实在是非常复杂，以本人的水平无法对其建立数学模型描述）1 w5 U! G( y5 O+ z! ~# P
8 { a3 J2 z% J6 V* I W2 o( [
有了以上的假设，我们来了解一下激发原理：活塞在弹簧弹力的推动下压缩气缸内的空气做功；压缩空气流动至hop处推动bb开始加速运动；bb在空气推动下在内管内进行加速运动；内管中，bb前的空气阻力对bb作负功。
( ^5 P1 a+ _9 F: P! |. i取激发过程任意时刻（bb已经冲开hop进入内管加速，bb未离开内管，气缸活塞未运动到气缸头部）：) F p+ w* K) D7 A9 F0 N( n
对活塞：
/ R3 _$ C1 m8 f' M由牛顿第二定律可知：取m0（dv0/dt)=(F+PA)-p0A 式中 m0 — 活塞质量；v0 －活塞速度，t－时间，F－弹簧弹力，p0－活塞处空气的动压强，A－活塞的拍头的面积（气缸面积），P－大气压强。v0 p0 t为3个变量
7 a! R# P1 P. S K$ t7 C对bb弹:
8 Y, O/ _5 l; m0 o h由牛顿第二定律可知：m1（dv1/dt)=p1a-(Kv1^2+Pa) 式中 m1 — bb质量；v1 －bb速度，t－时间，K－空气阻力比例系数，p1－bb后空气的动压强，a－内管面积，P－大气压强。v1 p1 t为3个变量! [. W/ o* z- t5 b0 S. i" d
) K. L% a+ r5 l. ?2 O! W* \" _取封闭空气的bb端截面和活塞端面：3 {4 N- Z& |. |2 t6 ^$ h4 j: p
对空气的连续性假设我们可以列出连续性方程（1），可分别列出两个截面的两个方程；根据牛顿第二定律我们可以列出运动方程（2），可分别列出两个截面的两个方程；根据封闭空气的绝热变化过程，我们可以得到状态方程（3），可分别列出两个截面的两个方程；根据能量守恒定律（绝热，与外界没有能量交换），我们可以得到伯努利方程（4）两个截面获得一个方程；
- l" y, o& C1 s- Q" e, ]其中v0 p0 ρ0 T0 v1 p1 ρ1 T1为8个变量。 j* z2 O/ u d7 v5 `) c
纵上所述，我们一共获得9个方程，有9个变量
8 T6 o9 [8 T3 F8 H* E气体连续性方程 dA/A+dv0/v0+dρ0/ρ0=0 (1)
# c0 @% W; q+ ~ f da/a+dv1/v1+dρ1/ρ1=0 (2)
+ m/ T3 r" m5 q9 {4 D$ T0 \气体运动方程 v0dv0+dp0/ρ0=0 (3)
7 V; ?9 j: A, Z; ]0 b v1dv1+dp1/ρ1=0 (4)
7 L- q3 g% T& |, Y6 Z气体绝热方程 dp0/p0=dρ0/ρ0+dT0/T0 (5)
/ B8 J/ D$ z/ S4 a8 V9 A7 [ dp1/p1=dρ1/ρ1+dT1/T1 (6)0 ? y1 V$ i' }' k. b1 D
气体伯努力方程 v0^2/2+(Kp0)/((k-1)ρ0)=v1^2/2+(Kp1)/((k-1)ρ1) (7)+ l$ {- K2 _" N+ O, J2 \7 d
活塞运动方程 m0（dv0/dt)=(F+PA)-p0A （8）
2 r" a! \# }7 X5 a: @bb运动方程 m1（dv1/dt)=p1a-(Kv1^2+Pa) （9）, j1 d8 y9 ?5 I, Z
$ l. j# |+ `- o0 I
所以从理论上来讲方程组是封闭的。通过必要的边界条件（起始条件和结束条件）和常数（空气参数，活塞bb质量等），求解上述偏微分方程组，我们可以获得bb的速度场，空气的密度场和压力场。并且获得bb速度v1以时间t为变量的函数。但是，由于每个方程都含有非线性的微分项，实际求解过程十分复杂。以本人水平无法求解。6 o6 W; t3 t5 k2 J0 d) t
" n+ Q) x- @7 x' p- |5 f5 e" h$ D! l
1 H3 n: t+ o2 |! p# Q# v: _, n* X5 \
第二部分（近似模型可用于实践）：
2 y$ f+ O! S+ K内管长度变化的近似简化模型理论分析：+ D& d! q& @& p2 {# C& S
以上微分方程组是复杂的，应用于实际的可能性不大，那么有没有简化的模型呢，让我们来分析一下：
6 n' d' I# X1 x: t2 G5 j' I: D由以上气体各状态的压力微分项存在，我们可以导出，气体对bb的推力变化是连续的（数学上成为函数可导）。并且显然，活塞的运动是压缩空气，而bb的运动是扩张空气。进一步分析压缩空气对bb的推力，我们可以将bb在内管（内管足够长）加速的整个过程分成三个部分， o6 L. c* f1 u6 F9 O& A
a．从冲开hop胶开始到压缩空气推力最大值：这个时间段内，由于bb是从静止开始，bb速度增加扩张空气的效应相对活塞速度变化压缩空气的效应是小的，即活塞压缩空气的效应明显（活塞的截面积远大于bb的直径，所以在这个阶段，空气将是不断被活塞压缩）。
& Z: X, |/ m; k) B- m所以，这个阶段是空气对bb的合外力不断增大的。) U6 U7 f3 ?( j
即bb加速度增大，速度增大
' ^: y: m% x* Q" N- P- N+ h* _0 u; A$ U" r; W* g$ ~
b．从压缩空气推力最大值到压缩空气推力为0：当空气被压缩到最大值后，bb速度增加扩张空气的效应将大于活塞压缩空气的效应（这个时间段bb的加速度已经远远大于活塞的加速度），所以这个阶段空气对bb的合外力将不断变小，但是空气合外力依然为动力。& B1 E: g$ x( w/ x
即bb加速度减小，速度增大
$ h: g; x8 J3 B- z" ~c．压缩空气合外力由动力变为阻力：当空气合外力变为0以后，bb后面内管中的空气将开始形成倒吸状态。这时bb加速度为负，速度减小。" s9 @0 `6 n8 z$ S
' z, m8 F- p! w+ W4 n$ K我们作出可能的函数图，Y轴是bb受到的合外力的变化，X轴是内管长度的变化。
4 K! h4 k2 s" t) o2 Z' b( D8 F图中红色部分是可能的实际bb受到合外力的情况，可见曲线是复杂的。由于Y轴是bb受合外力以x为变量的函数， 所以合外力对bb作的功即为f(x)dx求定积分，也即红色曲线包围x轴的面积，也即bb最后获得的动能。3 g; l) @( k1 V# S; e3 Y
但是实际求解这个面积十分困难，因为红色曲线（bb受到的和外力）的表达式实际不太可能精确求得，但是我们可以近似得找到两条黑色直线使之形成三角形的面积等于红色曲线的面积，并且让两条直线分别经过红色曲线和x轴的两个交点，如图所示：/ i/ M& @) w. j, b0 A& f
这样我们就得到气体合外力的近似表达式
. T& m& s# I+ `. e- If(x)=ax (a>0, 0<x<x0) (1)# @/ c. ~& R/ o( }- w+ Y# R6 R/ o
f(x)=-bx +c (b>0, c>0, x>x0) (2)
2 p" t# _' F6 t: O6 N f2 H用dx积分（1）得a阶段合外力做功功F(x)=0.5ax^2+C1 （3） C1为积分常数0 X3 c4 z: _0 i! R1 t" A
用dx积分（2）得b，c阶段合外力作功F(x)=-0.5bx^2+cx+C2 (4) C2为积分常数+ C; A: b% H) t, j' m
相加（3）和（4）得到F(x)=(0.5a-0.5b)x^2+cx+C1+C2 进一步简化常数
W; y& k: `0 H6 Y) v! K- M' a# }得：F(x)=-Ax^2+Bx+C (A、B、C为常数， A>0、B>0、C>0) （5）! f& c2 z- Q4 a
& l/ K5 k2 I% W x2 }
第二部分结论：最终导出近似模型，当一支电动及手拉bb枪其他部分固定不变而仅改变内管长度时，枪口动能是内管长度的二次函数。改变其他部分（气缸、弹簧等）将引起二次函数各系数A B C的变化。1 h/ W* g$ ^( s# p+ H ~8 N- |; n }
任意选取三种长度的内管，并记录bb初速，我们可以求得方程三个常数A、B、C从而获得动能表达式。确定方程后将方程微分后并使之等于0，可得x的值即为最佳理论管长。
! T# }; g% ?0 }, }+ b' ?1 R5 w
, @9 `. `' L K. f0 J# W1 G# X) W* \
我无法给出直接的证据证明这个近似公式的正确性，但是我有一张图可以提供一个佐证，这张图转自香港某bb枪论坛，应该是早年鬼子某杂志证明全量气缸理论管长为45cm左右作的理论加试验。/ \, t; l+ n9 t( X! S' q) h' ~# u! F
- }. c# |, |: ~& Z$ X9 g& }5 W( b图上的这个公式和（5）是一致的，对图上的公式以x为变量求微分可得
7 R0 E% e- Z# k5 [全量缸bb合外力f(x)=2(-2.664*0.000001)x+0.002434,
, V$ ?6 G% @5 D3 s- E" a当合外力f(x)为0是bb速度最大，即x=456mm。所以全量缸的理论管长为45cm。3 M5 r5 z9 o5 D: Q/ `% P& |. u! B
) r+ r- R9 v2 A4 X![]() ' Z$ @0 l' v1 Z# ^* H7 _) t
![]()
9 M* A7 J g7 E7 w6 X* D/ Z) u7 G1 h
[ 本帖最后由 小职员 于 2008-6-5 23:58 编辑 ] |
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发表于 2008-5-24 14:10
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发表于 2008-6-6 11:39
