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首长大大提到个《芝诺悖论》感觉很有意思，贴出来给大家娱乐一下。
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6 v3 k. @; X, Z( O# Y; y 芝诺悖论(Zeno's paradoxes)是古希腊数学家芝诺（Zeno of Elea）提出的一系列关于运动的不可分性的哲学悖论。这些悖论由于被记录在亚里士多德的《物理学》一书中而为后人所知。芝诺提出这些悖论是为了支持他老师巴门尼德关于“存在”不动、是一的学说。这些悖论中最著名的两个是：“阿基里斯跑不过乌龟”和“飞矢不动”。这些方法现在可以用微积分（无限）的概念解释。 # r+ i, U# m2 s2 _& G
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6 e; J0 L `1 Z! ]4 }+ _* U1 h" }' Q两分法悖论 运动是不可能的。, t7 C! y7 |! o. @; i
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由于运动的物体在到达目的地前必须到达其半路上的点，若假设空间无限可分则有限距离包括无穷多点，于是运动的物体会在有限时间内经过无限多点。9 p) B! G& C G
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' l2 U- K, ~4 P 最早应是《庄子天下篇》中，庄子提出的:“一尺之捶，日取其半，万世不竭。” F2 W X1 ^2 n% L! e2 C! k+ L
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: @. U) ]5 `7 s) C1 I阿基里斯(Achilles)悖论 阿基里斯是古希腊神话中善跑的英雄。在他和乌龟的竞赛中，乌龟在前面跑，他在后面追，但他不可能追上乌龟。因为在竞赛中，追者首先必须到达被追者的出发点，当阿基里斯到达乌龟在某时所处的位置时，乌龟已向前移动一些；阿基里斯再到达乌龟的那个位置时，乌龟又往前跑了一段；……因此，无论阿基里斯到达乌龟曾处的哪个位置，乌龟都会在他前面。所以，无论阿基里斯跑得多快，他永远追不上乌龟。
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: G1 b4 c5 H: [# _ “ 动得最慢的物体不会被动得最快的物体追上。由于追赶者首先应该达到被追者出发之点，此时被追者已经往前走了一段距离。因此被追者总是在追赶者前面。 ”
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──亚里士多德，物理学 VI:9, 239b15
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1 o9 m y" B8 N5 j- v 如柏拉图描述，芝诺说这样的悖论，是兴之所至的小玩笑。首先，巴门尼德编出这个悖论，用来嘲笑"数学派"所代表的毕达哥拉斯的"1>0.999..., 1-0.999...>0"思想。然后，他又用这个悖论，嘲笑他的学生芝诺的"1=0.999..., 但1-0.999...>0"思想。最后，芝诺用这个悖论，反过来嘲笑巴门尼德的"1-0.999...=0, 或1-0.999...>0"思想。 ! w+ l9 ~: s* E3 f; }5 v( y
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飞矢不动悖论 一支飞行的箭是静止的。
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由于每一时刻这支箭都有其确定的位置因而是静止的，因此箭就不能处于运动状态。
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游行队伍悖论 首先假设在操场上，在一瞬间（一个最小时间单位）里，相对于观众席A，列队B、C将分别各向右和左移动一个距离单位。! U8 S0 X1 L0 W9 x. n6 g
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□□□□ 观众席A2 D: ]. g- c5 a1 d4 F
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& N/ K, N4 @' u8 y' e1 E" U ▲▲▲▲ 队列C……向左移动 ]+ _$ Q) x. l. i% Y
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: C- |1 G6 N% ~) c+ a& D B、C两个列队开始移动，如下图所示相对于观众席A，B和C分别向右和左各移动了一个距离单位。
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J. V* Q2 @" x( s2 z! L 而此时，对B而言C移动了两个距离单位。也就是，队列既可以在一瞬间（一个最小时间单位）里移动一个距离单位，也可以在半个最小时间单位里移动一个距离单位，这就产生了半个时间单位等于一个时间单位的矛盾。因此队列是移动不了的。
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, s. g/ B; W! H1 a. ^ 运用无穷级数求和能破解芝诺悖论吗?
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( `# d+ ^4 U# J+ E a 彭哲也(人在井天)
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& s i( _4 }8 ]" b3 w7 m# [! _% y& @- J8 t+ s5 S
有一种思想认为可以通过无穷级数求和的办法解决这个问题(两分法和阿基里斯追龟).
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$ r/ b; D$ D7 P" ` 我们设物最后到达终点后所走过的空间距离为1,所走过的时间距离为1.首先我们假设物没有最后一个中点要走,则物走过无穷个中点之后物在空间上所走过的距离s是:
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; I% k, d2 t0 N3 H5 d S=1/2+1/2^2+......1/2^n=(2^n-1)/2^n=1-1/2^n(n为无穷大)" h2 e6 b$ C3 `* R3 D0 c$ c
$ ?& Z+ m% _8 Q% a, ?5 R" k0 I
* ]7 }( P' b$ R, {! k 我们可以看出,这里面的s是无限接近物实际到达的空间距离1.但无限接近并不是等于,也就是说,物并没有最终到达.
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- j3 y8 l \: H7 y. g. Y 现在我们假设物有最后一个中点要走.
$ X+ O* r+ E3 }, {) _, U9 D5 f" [
; |5 [ D# V$ [9 O" M1 | 则有
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- T: C( n, A9 X7 V# n1 L" x S=1/2+1/2^2+1/2^3+1/2^3& F1 a, M+ @5 S! g. {4 b' E: k; V S# `
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; D! J. _ \ [' @/ F5 m S=1/2+1/2^2+1/2^3+.........1/2^n+1/2^n( Z# g; F5 ~# ^# K
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=(2^n-1)/2^n+1/2^n=1
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也就是说,物走过最后一个中点与终点之间的距离之后所走过的距离与物实际到达所走过的距离是一致的.
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L& l$ m2 R, M+ E0 `& C 从上面的计算我们可以很简单地看出,物如果到达了终点,它走过了最后一个中点.如果物没有走过最后一个中点,物就不能到达终点., R, a' Q2 w3 R# ~8 e2 u/ R
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' Z6 t6 q# ?. J& N$ c
同理,我们可以算物走过无穷个中点所用的时间.设实际到达的时间为1.如果物没有最后一个中点要走.物走过无穷个中点所用的时间t是:5 Q9 y/ n* `5 T; d
* @/ ^; h/ X% \$ v, V; h) B/ W; C8 G% ^% r) }: m" L5 i
t=1/2+1/2^2+......1/2^n=(2^n-1)/2^n=1-1/2^n
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& Z& ^1 B: B+ i5 p. k8 J 可以看得出,这里的t是无限接近物实际到达终点所用的时间,但无限接近并不是等于.# w( H' b' J! M6 D( E6 S
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如果物有最后一个中点要走,则有
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0 [3 o& `/ [0 E( P6 Z t=1/2+1/2^2+1/2^3+.........1/2^n+1/2^n
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9 x: }1 g! W" ]$ L; E3 H3 E' G0 v 也就是说,物走过最后一个中点与终点之间的距离之后所用的时间与物实际到达的时间是一致的.# C% r& F; X7 y2 z8 B
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从上面的计算可以很清楚地看得出来,物如果有最后一个中点要走,物所用的时间与实际到达的时间相同.物如果没有最后一个中点要走,物所用的时间只能是无限接近物实际到达终点所用的时间,而不能等于.
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7 f( t& V* U4 T- R' P. |. n1 h. B 所以无穷级数求和的结果是,如果物能到达终点,物必须走过最后一个中点.但是物是如何走过最后一个中点的呢?这里没有半点依据.也就是说,两分法的悖论依旧.或者说,这种无穷级数求和的办法反而更加加深了这个悖论的逻辑性.两分法悖论与阿基里斯追龟悖论其实是同一个悖论的两种表述.两分法不能解决,阿基里斯追龟当然依旧. |
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狗仔卡
发表于 2009-5-22 10:55
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