bb枪外弹道理论浅析－－高手轻轻拍

小职员 · 发表于 2008-7-15 14:26

我们来讨论一下bb枪的外弹道需要研究一些什么东西，我总结如下一些物理量：

1. bb初速度（或者bb初始动能E）---在外弹道中，bb初速v0变为常数，方向当然沿枪管向前
2. hop自转角速度w---这个转速直接影响bb获得的升力（这个升力当然还和初速有关），
3. bb速度v随时间t的变化规律，函数v=T(t)
4. bb位移s随v的变化规律，s=S(v)，（这个是中间函数，不需要求得也可以。）
5. bb位移随时间t的变化规律，s=T’(t)
6. bb获得的hop升力F的变化规律，这个比较复杂（涉及很多空气动力学的内容），不过可以肯定的是F=F(w,v0,t)，即这个升力至少是bb自转转速w，bb初速v0和时间t的函数，并且单调下降。
7. 空气阻力f的变化规律及影响（这里的空气阻力指压差阻力，下文会对空气阻力作详细论述）。这里f=-kv^2  (负号指为阻力，与bb运动方向相反；k为6mm直径bb的空气阻力系数，外弹道学中有更一般的阻力公式f=-0.5pSCMav^2 (p,空气密度；S迎风面积，CMa外弹道阻力常数，Ma，马赫数速度与当地音速的比值，v，bb速度。以后我将用这个公式估算出常数k的大小，以简化我们bb场合的运算。)

如果我们求出这些未知的函数，那么我认为bb的外弹道问题就基本解决了。我们先从哪里入手呢？

同时考虑所有这些因素是复杂而且没有办法研究的，我们先从特殊的，省略次要因素的情况入手得出结论后再叠加这些次要因素修正。

1. 水平射击无hop的情况（研究水平方向bb运动变化规律）:

先说结论，
bb弹水平方向速度变化方程：
位移方程：s=T’(t)= (m/k)[ln(tkv0+m)-ln(m)] (1)
速度方程：v=T(t)=mv0/(tkv0+m)                (2)
常数k=4.37x10^(-6)                            (3)

推导过程如下：
首先我们先忽略hop自转的影响，因为这个hop自转的本质是提供升力减慢bb的下落速度以提高射程，对前进方向的速度影响可以忽略，况且我们感兴趣的是bb前进方向的速度。其次我们先研究水平射击的情况。在这个情况下，bb的重力完全抵消hop升力，在bb前进方向，bb仅受到空气阻力，这样便于研究。
我们建立方程：
由于水平射击，根据牛顿运动定律我们得出：
m(dv/dt)=-kv^2
由这个公式直接积分得出v=T(t) 比较困难；不过我们可以由上式得出
dt/dv=m/(-kv^2)
dt= m/(-kv^2)dv
我们可以直接积分得出t于t(v)的函数关系(结合积分上下限)，
∫dt=t=∫[m/(-kv^2)]dv
=-(m/k)∫(1/v^2)dv
=-(m/k)[-1/v-(-1/v0)]
=m/k(1/v-1/v0)，
即t= m/k(1/v-1/v0)。

变换上式，我们就导出bb速度v与时间t的函数
v=T(t)=mv0/(ktv0+m)，

为了便于后面积分方便我们再将v变换为
v=T(t)=mv0/(ktv0+m)
=(m/k){1/[t+m/(kv0)]}

将v对dt再积分一次得到位移（结合积分上下限，外弹道开始时t=0）
s=∫vdt=∫T(t)dt=∫(m/k){1/[t+m/(kv0)]}dt
=(m/k)∫{1/[t+m/(kv0)]}dt
= (m/k)∫{1/[t+m/(kv0)]}d[t+ m/(kv0)]
=(m/k){ln[t+m/(kv0)]-ln[m/(kv0)]}
=(m/k)[ln(tkv0+m)-ln(kv0)-ln(m)+ln(kv0)]
=(m/k)[ln(tkv0+m)-ln(m)]

至此我们导出bb外弹道位移公式和bb外弹道速度公式（水平方向）:
$ s# W( A: U1 D5 ^s=T’(t)= (m/k)[ln(tkv0+m)-ln(m)]  （1）
! ^' V( D8 M; |! W- e. e7 \5 Jv=T(t)=mv0/(tkv0+m)    (2)

由公式可以看出将以上两个公式用于实际计算的最大困难是如何确定这个阻力系数k，我们来估算这个k值。
由f=-0.5pSCMav^2，我们得到k=0.5pSCMa，我查了弹道表(外弹道学1943年阻力定律)，不过弹道表中最小从Ma=0.7开始，即初速238m/s。没有我们想要的数值我们bb一般最多170左右，即Ma=0.5，郁闷！我估算一下取值Ma＝0.5时，CMa=0.15
Ma    CMa
0.7    0.157
0.8    0.159
0.9    0.184
1.0 0.325
1.1 0.378
继续网上找资料，找到一个球体空气阻力C的系数取值为0.24。

考虑到弹道学研究的子弹前部是尖头的锥形的，其形状和我们的bb弹前部半圆形有很大区别。可以想象，圆形的bb在空气中的阻力肯定大于尖头的锥形子弹在空气中的阻力，所以我认为CMa不能取弹道表中的0.15而应取网上的值0.24。

取空气密度1.29kg/m^3 S=3.14(0.006)^2/4= 0.00002826
k=0.5x1.29x0.00002826x0.24=0.0000026=4.37x10^(-6)。

至此我们求的外弹道的两个重要方程及常数k
s=T’(t)= (m/k)[ln(tkv0+m)-ln(m)] (1)
v=T(t)=mv0/(tkv0+m)                (2)
k=4.37x10^(-6)                      (3)

下面实际应用计算，以我的bar10用0.2gbb大概初速145左右，那么假如灌底的力是120，问在多大射程内还能灌底？

求解：
由（2）我们得到 v=T(t)=mv0/(tkv0+m)=0.0002x145/(tx0.00000437x145+0.0002)=120
解得t=0.07 代入（1）
得到
s=T’(t)= (m/k)[ln(tkv0+m)-ln(m)]
=（0.0002/0.00000437）[ln(0.07x0.00000437x145+0.0002)-ln(0.0002)]
=9.16m
即在9米左右还能贯底。

2. 水平射击有hop的情况（重点研究竖直方向bb运动变化规律，－马格努斯效应）:

推导过程如下：
当水平射击考虑hop影响时，主要研究的是hop升力对bb竖直方向的影响。由hop产生升力的原理我们可以推论出hop自转对bb水平方向的运动影响不大，hop只是增大bb的水平射程。bb水平方向的运动规律还是可以用情况1的方程描述。

下面我们来重点研究一下bb竖直方向的运动规律。

bb在空气中的受力模型（收到三个力，粘滞阻力、压差阻力和上旋升力）：
bb在空中飞行时，bb在向前运动的同时也在旋转。在讨论旋转球体问题时，我们以bb为参照物建立质心参考系。在这个质心参考系中，空气在运动。如果空气是理想流体，那么与bb之间就没有相互作用，bb的运动与它是否旋转无关。但实际空气是粘性流体，它对旋转bb有阻力、同时也受到bb的作用，在bb上下面的空气对bb相对速度不同，产生了压力差，形成了一个“上旋升力”，使bb改变运动方向。而且bb在前进中受到了粘滞阻力和压差阻力。

a粘滞阻力：
由于空气粘滞阻力的存在，使bb旋转角速度减慢。不过因为空气的粘性系数非常小,又因为bb表面很光滑，所以这个粘滞阻力对bb产生的影响非常小，可以忽略。

b压差阻力：
当空气运动遇到bb时，空气会被bb分开，从bb的不同侧面流过。如果空气具有一定的粘性，靠近bb的那部分空气的速度将减慢，在bb的后面一侧形成“真空”地带，离bb较远处的空气将向这个“真空”地带补充，bb后方形成了“尾流”。此时，bb前后两部分空气内单位体积分子数不同，前后侧面受到空气的压力不同，使得bb受到空气的阻力，这种阻力称为压差阻力。在空气动力学中所说的“物体运动时受到空气与速度二次方成正比的阻力”，指的就是空气对物体的压差阻力，压差阻力的大小与物体运动速度的平方成正比，即f∝v^2，可以写为f = kv^2压差阻力的大小与流体的密度、物体的速度有关。这个压差阻力对bb影响巨大，是bb动能衰减的主要原因，情况1已经对这个阻力的影响研究过了，在此就不重复了。

c 附加作用力：
空气在物体光滑表面的流动为层流，贴近物体的薄层由于空气粘度和bb共同转动，运动规律遵从伯努利方程。伯努利方程是物质能量守恒的体现，说明在流体稳定流动的每一个时刻，空间每一个区域内的能量不变，其数学表达式为：
P1+pgh1+pv1^2/2= P2+pgh2+pv2^2/2
式中 P1、P2、h1、h2、v1、v2、分别为空气在1、2两点处的压强、高度和速度，p空气密度；g重力加速度。
根据伯努利方程，即使1、2两点的高度相同，当它们之间的空气速度有差别时，两点间也产生压强差。空气从bb表面流过。因为从bb上方流过的空气速度v1比从bb下方流过的空气速度v2大，所以在bb上方的气体的压强p1比bb下方气体的压强p2 小。产生了一个向上的力。结果bb一面向前走，一面承受一个把它推向上的力，当这个力和重力相当时，bb就能沿水平方向前运动而不是抛物线。

下面我们来建立方程：

显然bb在内弹道中冲开hop胶后在内管中完成加速后出枪口瞬间是“上旋”的。
取一般情况下
设bb半径为r，bb的质心以初速度v向前运动，bb自旋转的角速度为w。
选用bb质心参考系，由相对运动可知，此时空气整体上以速度v向后运动；与bb接触的空气在bb表面的作用下绕bb转动。由空气粘度得，在bb表面处的空气与bb面相对静止，以角速度ω绕bb中心旋转。对于质心，bb上侧空气向后方运动，相对bb的速度加大；bb下侧空气向前方运动，相对bb的速度减小。bb上侧空气的速度为v1＝v+rw、下侧空气的速度为v2＝v-rw。上侧空气速度v1大于下侧空气速度v2
根据伯努利方程可知:
P1+pgh1+pv1^2/2= P2+pgh2+pv2^2/2    (5)
因为bb上下面高度h1、h2(仅差6mm)基本相同，所以方程可写为：
P1+pv1^2/2= P2+ pv2^2/2
P2-P1= pv1^2/2- pv2^2/2
=p[(v+rw)^2/2-(v-rw)^2/2]
=2prwv
又由bb的截面积得到
升力函数
F(t)= (P2-P1)S=2prwv*3.14r*r=6.28pwvr^3
由v=T(t)=mv0/(ktv0+m)
bb竖直方向加速度(向上为正)，
a＝F(t)/m-g
=6.28pwvr^3/m-g
=6.28pwr^3 [mv0/(ktv0+m)]/m-g
=6.28pwr^3 [v0/(ktv0+m)]-g

说明：由这个加速度a对时间t积分两次即可获得bb竖直偏移的位移S1以时间t的函数，
又由水平方向bb的位移公式：
s=T’(t)= (m/k)[ln(tkv0+m)-ln(m)] 我们可以求出t以水平位移s的函数，将这个t代回到偏移函数S1中，我们就获得了
bb竖直偏移S1以bb初速v0，自转角速度w和水平位移s的函数。

由于没有获得最后的数学表达式，努力补习数学中...........争取早日导出方程......

3. 枪管有仰角θ（可定义正为向上，负为向下）射击的情况:

先说结论，
枪口向上时，bb速度比水平时慢，hop上旋幅度可能变大也可能变小，在此不能确认，与仰角θ，初速都有关系；枪口向下时，bb速度比水平时快，hop上旋幅度肯定比水平是大。

简要推导过程如下（无耐心看的兄弟请略过）：
当枪管有仰角时，原方程组

水平方向：m(dv/dt)=-kv^2
垂直方向：m(dv1/dt)=mg-F(w,v0,t)

就变为如下的一般形式方程组：

bb弹初速方向：m(dv/dt)=-kv^2-mgsinθ
bb弹初速法线方向：m(dv1/dt)=mgcosθ-F(w,v0,t)

速度，位移的推导过程和上面是一样的，在此就不重复了。只是定性的讲一下，
枪口向上时，重力的一部分转换成阻力，而抵消hop的重力则变小了；枪口向下时，重力的一部分转换成动力，而抵消hop的重力也变小了。

4. 风偏对精度的影响计算

风力等级表
风级和符号       名称       风速（米）陆地物象       海面波浪       浪高（米）
            0       无风       0.0-0.2       烟直上          平静                   0.0
            1       软风       0.3-1.5       烟示风向       微波峰无飞沫       0.1
            2       轻风       1.6-3.3       感觉有风       小波峰未破碎       0.2
            3       微风       3.4-5.4       旌旗展开       小波峰顶破裂       0.6
            4       和风       5.5-7.9       吹起尘土       小浪白沫波峰       1.0
            5       劲风       8.0-10.7    小树摇摆       中浪折沫峰群       2.0
            6       强风       10.8-13.8 电线有声       大浪到个飞沫       3.0
            7       疾风       13.9-17.1 步行困难       破峰白沫成条       4.0
            8       大风       17.2-20.7 折毁树枝       浪长高有浪花       5.5
            9       烈风       20.8-24.4 小损房屋       浪峰倒卷       7.0
还是以我的bar10用0.2gbb大概初速145左右，射击20米距离，外弹道时间t=0.173 （求解过程我是用excel编好公式后算的，很方便，而且可以求任意时间、任意位移的值）
我们假设用微风即，风速6m/s讨论，假设风的影响是垂直弹道的。
风压的计算问题。
　　我们知道，风压就是垂直于气流方向的平面所受到的风的压力。根据伯努利方程得出的风－压关系，风的动压为
　　　　　　　　　　　　wp ＝ 0.5·ro·v^2　　　　　　　　　　 (1)
其中wp为风压[kN/m2]，ro为空气密度[kg/m3]，v为风速[m/s]。
由于空气密度(ro)和重度(r)的关系为 r=ro·g, 因此有 ro=r/g。在(1)中使用这一关系，得到
　　　　　　　　　　　　wp ＝ 0.5·r·v^2/g　　　　　　　　　　(2)
此式为标准风压公式。在标准状态下(气压为1013 hPa, 温度为15°C), 空气重度 r=0.01225 [kN/m3]。纬度为45°处的重力加速度g=9.8[m/s2], 我们得到
　　　　　　　　　　　　wp ＝ v^2/1600　　　　　　　　　　　　 (3)
得到标准单位的wp=v^2/1.6,  bb受风压(4级风)f=6^2/1.6x3.14x(0.006)^2/4=0.00064N
结合前面得出的t=0.173s
得到20米风偏距离=0.5ft^2/m=0.5x0.00064x0.173^2/0.0002=0.047m
结论，4级风时bar10用0.2gbb大概初速145左右，射击20米距离会产生最大5cm左右风偏。

同样情况下如果换0.32gbb的话，初速114.6，外弹道时间t=0.2007
得到20米风偏距离=0.5ft^2/m=0.5x0.00064x0.2007^2/0.00032=0.04m.  4cm左右风偏。

[ 本帖最后由小职员于 2008-7-15 21:51 编辑 ]

穿短裤的暴徒 · 发表于 2008-7-15 15:50

半圆形的bb在空气中的阻力肯定小于尖头的锥形子弹在空气中的阻力

这句太不严谨了吧?和你举的那么多公式不配啊!

半圆形的BB 汗你一个你以为街霸里发的波动拳啊

小职员 · 发表于 2008-7-15 16:19

原帖由 穿短裤的暴徒 于 2008-7-15 14:50 发表 - K! K2 u  @0 @: L3 v
半圆形的bb在空气中的阻力肯定小于尖头的锥形子弹在空气中的阻力/ H" @) P' x$ P6 _1 S/ w

: m$ t; L/ a# u+ M/ W  t% V7 @这句太不严谨了吧?和你举的那么多公式不配啊!
! A. ?# w( _) r; ?5 ]0 S! B: K3 Y
, K- K2 P; M( }$ K2 r半圆形的BB  汗你一个你以为街霸里发的波动拳啊

不好意思，没说清楚。计算阻力时，考虑的是bb的迎风面，应该是bb半球的表面。另外“小于”的笔误已改正，应该是大于。

[ 本帖最后由小职员于 2008-7-15 15:26 编辑 ]

charwbt2000 · 发表于 2008-7-15 17:51

如此费劲的证明了一个世人皆知的道理... 细不细有此浪费了...?

yqw8422 · 发表于 2008-7-15 17:54

凡是列举了大量公式、变量的，一概么兴趣看。

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